park 正变换

通俗点讲就是在不断旋转变化的转子上再建立一个坐标系，因此可以通过 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{\alpha }}-{\mathrm{I}}_{\mathrm{\beta }}$ 坐标系和两个坐标系夹角 $\theta$ 获得在新坐标系 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}-{\mathrm{I}}_{\mathrm{d}}$ 上的映射

新坐标系不断旋转产生的差角 θ，称为电角度

映射后的 park 矩阵形式如下，根据规范 $i_d$ 要写在上面的行：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{d}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{q}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & \sin \theta \\ -\sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\alpha }\\ {\mathrm{i}}_{\beta }\end{array}\right]$$

又因为矩阵运算

$$AB=C==>A^{-1}C=B$$

可以用 (A 的伴随 / A 的行列式) 求出 A 的逆

$${\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & \sin \theta \\ -\sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]}^{-1}$$

A 的逆为

$$\begin{array}{rl}{\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & \sin \theta \\ -\sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]}^{-1}& =\frac{1}{{\cos }^2\theta -(-\sin \theta \sin \theta )}\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & -\sin \theta \\ \sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]\\ \\ {\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & \sin \theta \\ -\sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]}^{-1}& =\frac{1}{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & -\sin \theta \\ \sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]\end{array}$$

因为毕达哥拉斯恒等式为：

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

所以最终的 park 逆变换矩阵为：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\alpha }\\ {\mathrm{i}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & & -\sin \theta \\ \sin \theta & & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{d}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{q}}\end{array}\right]$$

等式为：

$$\begin{gathered} {\mathrm{i}}_{\alpha }={\mathrm{i}}_{\mathrm{d}}\cos \theta -{\mathrm{i}}_{\mathrm{q}}\sin \theta \\ {\mathrm{i}}_{\beta }={\mathrm{i}}_{\mathrm{d}}\sin \theta +{\mathrm{i}}_{\mathrm{q}}\cos \theta \end{gathered}$$

在实际的 FOC 应用中，电角度是实时有编码器求出的，因此是已知的。 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}-{\mathrm{I}}_{\mathrm{d}}$ 可以合成一个矢量，加上电角度（旋转）的存在，因此可以看成一个旋转的矢量。在通过 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}-{\mathrm{I}}_{\mathrm{d}}$ 和电角度求得 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{\alpha }}-{\mathrm{I}}_{\mathrm{\beta }}$ 后，我们就可以通过前面提到的克拉克逆变换求得 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{a}},{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}},{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}$的波形，这正是FOC的基本过程

通常在简单的 FOC 应用中，我们只需要控制 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}$ 的电流大小，而把 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{d}}$ 设置为0。此时，${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}$ 的大小间接就决定了定子三相电流的大小，进而决定了定子产生磁场的强度。进一步我们可以说，它决定了电机产生的力矩大小

而 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}$ 是旋转的矢量，同时 ${\mathrm{I}}_{\mathrm{q}}$ 又会间接影响磁场的强度，这正是FOC的名称磁场定向控制的由来