clarke 正变换

通俗点讲就是将难以控制的电机三相，降维投影到两个坐标轴，缩减控制变量。

复杂的三相变化问题就降解为了α-β坐标轴的坐标上的数值变化问题。

利用三角函数进行投影：

显然，针对α-β坐标系中α轴，有：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{I}}_{\alpha }={\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}-\sin {30}^{\circ }{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-\cos {60}^{\circ }{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\\ & {\mathrm{I}}_{\alpha }={\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\end{array}$$

针对α-β坐标系中β轴，有：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{I}}_{\beta }=\cos {30}^{\circ }{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-\cos {30}^{\circ }{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\\ & {\mathrm{I}}_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\end{array}$$

把上面的投影结果列成矩阵形式，有：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{I}}_{\alpha }\\ {\mathrm{I}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\end{array}\right]$$

但是这个式子并不是最终的投影式，之后需要添加幅值的系数，原因如下：

用 $\alpha$ 相电流输入 $1A$ 电流的特例来举例，当电流输入时候，根据基尔霍夫电流定律（电路中任一个节点上，在任意时刻，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和，如下图），有：

$${\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{a}}=0$$

设 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}$ 为-1，则根据上面的式子，${\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}={\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}$ ，列成矩阵形式后，如下所示：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_a\\ {\mathrm{i}}_b\\ {\mathrm{i}}_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

将 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{a}},{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}},{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}$ 代入：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{I}}_{\alpha }\\ {\mathrm{I}}_{\beta }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

由于 b,c 相电流投影的存在，导致在 a 相输入 $1A$ 电流，反应在 $\alpha$ 轴上的电流并不是等赋值的 $1A$ ，而是 $-\frac{3}{2}$。

因此，为了让式子等辐值，即使得 a 相 $1A$ 时，反应在α轴上的电流也是 $1A$ ，就得乘上系数 $\frac{2}{3}$

基于等赋值变换，就能够得到 α、β 相位与 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{a}},{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}},{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}$ 的关系

$$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{I}}_{\alpha }\\ {\mathrm{I}}_{\beta }\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}\end{array}\right]$$

代入：

$$\begin{array}{r}{\mathrm{I}}_{\alpha }=\frac{2}{3}({\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})\\ {\mathrm{I}}_{\alpha }=\frac{2}{3}[{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}({\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})]\end{array}$$

根据基尔霍夫电流定律：

$$\begin{gathered} {\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}=0 \\ \begin{array}{rl}\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}& =-\frac{1}{2}({\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})\\ \\ \mathrm{Ia}& =\frac{2}{3}[{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}]\\ \mathrm{Ia}& =\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\\ \mathrm{Ia}& ={\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\end{array} \end{gathered}$$

进一步的，可求 ${\mathrm{I}}_{\beta }$

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{I}}_{\beta }& =\frac{2}{3}\times (\frac{\sqrt{3}}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})\\ & =\frac{\sqrt{3}}{3}\times ({\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\times ({\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})\end{array}$$

根据基尔霍夫电流定律：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}=-({\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}})\\ \\ & {\mathrm{I}}_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}\times ({\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}-{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\times ({\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\times (2{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}})\end{array}$$

最终可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{I}}_{\alpha }={\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{I}}_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}\times (2{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}})\end{array}$$

clarke 逆变换

将 $\mathrm{I}\alpha$ 代入 ${\mathrm{i}}_{\alpha }$, 推导出 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}$

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{I}}_{\beta }& =\frac{1}{\sqrt{3}}\times (2{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}})\\ {\mathrm{I}}_{\beta }& =\frac{1}{\sqrt{3}}\times (2{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{a}})\\ \sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }& =2{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{I}}_{\mathrm{a}}\\ 2i_{\mathrm{b}}& =\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }-{\mathrm{I}}_{\alpha }\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}& =\frac{\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }-{\mathrm{I}}_{\alpha }}{2}\end{array}$$

根据基尔霍夫电流定律推导出 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}$

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}& =-({\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}})\\ & =-{\mathrm{I}}_{\alpha }-{\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}\\ & =-{\mathrm{I}}_{\alpha }-\frac{\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }-{\mathrm{I}}_{\alpha }}{2}\\ & =\frac{-2{\mathrm{I}}_{\alpha }-\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }+{\mathrm{I}}_{\alpha }}{2}\\ & =\frac{-{\mathrm{I}}_{\alpha }-\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }}{2}\end{array}$$

最终得到：

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{i}}_{\mathrm{a}}={\mathrm{I}}_{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{b}}=\frac{\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }-{\mathrm{I}}_{\alpha }}{2}\\ {\mathrm{i}}_{\mathrm{c}}=\frac{-{\mathrm{I}}_{\alpha }-\sqrt{3}{\mathrm{I}}_{\beta }}{2}& \end{array}$$